柯西不等式,排序不等式,均值不等式,幂平均不等式例题(1-3)

  1. 证明,对所有实数a,b,c,有:
    Screenshot_20220329_022846_org.geogebra.android.g.jpg证明:Screenshot_20220329_023348.jpg则由柯西不等式可知:Screenshot_20220329_023537.jpg即所需证明的不等式  证毕
  2. 求证:当n≥2时

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        证明:我们由均值不等式容易得到

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         这一步得到的形式看起来与右式并没有太大关系,但我们通过小学学过的知识来对这个式子进行改造

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         于是得到右式

    3.求证:对任意x,y>√2,都有

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证明:我们对原不等式进行简单的变换,要证明原不等式,等价于证明:

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(因为原不等式形式容易想到需进行因式分解,从而得出)

考虑对右下多项式进行放缩,即:

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于是即证明:

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由题干给出的x,y>√2可知该不等式显然成立,因此本题得证

解答过程虽然寥寥几行,但需要一些时间来构造,分析不等式,所以建议思考几分钟后再看证明过程

 

 

 

 

 

 

 

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